El infinito en matemáticas

Abstract

RESUMEN: Este trabajo pretende ser una reflexión acerca del infinito en matemáticas, abarcando tres aspectos. El primero de ellos sería la descripción del origen y significado del infinito. En el capítulo 1, sección 1.1, reflexionamos sobre el concepto de infinito tanto en el ámbito coloquial como en el histórico y, en el filosófico. En la sección 1.2, nos centramos en aquellos aspectos del infinito relacionados con los números con cardinales, mientras que en la sección 1.3, introducimos el concepto de infinito geométrico relacionado con aquellos puntos que se encuentran indefinidamente lejos. El capítulo 2 trata de responder a dos preguntas que creemos son cruciales: suponiendo que la mayor parte de nuestras preocupaciones versan sobre objetos finitos, ¿es necesario usar el infinito? ¿es coherente? ¿es útil? En la sección 2.1 se responde afirmativamente a esta cuestión sobre su utilidad. Así se muestra cómo algunos hechos que no involucran sino aspectos finitos tienen propiedades que puedes demostrarse tanto con el uso del infinito como de manera finitista (números de catalán,...). También en esta misma sección vemos otro ejemplo de la serie de Goodstein y, el teorema 1, que afirma que en dicha serie se alcanza después de un número finito de etapas el valor 0, sorprendentemente, el teorema 2, Kirby-Paris muestra que el teorema 1 no es finitamente demostrable. En esa misma línea en la sección 2.2 de este capítulo describimos otra situación paradógica que se ha popularizado recientemente a través de un vídeo en youtube, donde se calcula la función Zeta de Riemann obteniendo como resultado -1/12. Tras haber reflexionado sobre las dificultades históricas y actuales del manejo del infinito incluso para los expertos, en el capítulo 3 reflexionamos, en la sección 3.1, acerca de las dificultades que involucra su comprensión y su enseñanza en el nivel de secundaria. Para finalizar este trabajo se describe en la sección 3.2, detalladamente, la aparición explícita o implícita del concepto del infinito en muy diversos contenidos del vigente currículum de secundaria y bachiller así como en el de la LOMCE. Este TFG concluye con una sección dedicada a diversas conclusiones y posibles trabajos futuros entorno a este tema.

ABSTRACT: This work pretends to be a reflexion of the infinity in mathematics, with three principal chapters. The first one is going to be the description of the infinity's origin and meaning. In chapter 1, section 1.1, we think in the infinity's origin concept in a colloquial way as in a historic and philosophical way. In section 1.2, we focus on the principal aspects of the infinity related to cardinal numbers, whereas in section 1.3 we introduct the geometric concept of infinity related to those points which are indefinitely away. Chapter 2 pretends to answer to two questions that we think are crucial: supossing that our principal concerns are related to finite objects, ¿is it necessary to use the infinity? ¿is it coherent? ¿is it helpful? In section 2.1 this question about its utility is going to be answered in a positive way, it's going to be shown that some issues, which contain finite aspects, has properties which can be prooved with or without the use of infinity (catalan numbers,. . . ). Also, in this section we show another example of the Goodstein serie and theorem 1, which says that in this serie we arrive, in a finite numbers of steps, to the 0 value. Surprisingly, in theorem 2, Kirby-Paris shows that theorem 1 can't be prooved in a finite way. In section 2.2 we describe another paradoxical situation that has be recently popularized thanks to a video in youtube, where the Zeta Riemann function is calculated obtaining as a result -1/12. Now that we have reflected on the historical and actual difficulties of the use of infinity even for the experts. In chapter 3, section 3.1 we reflect on the difficulties related to its understanding and its teaching in secondary school. To sum up this work we describe in detail in section 3.2, the express or implied appearance of the infinity concept in very different points of the current curriculum of middle and high school and in the LOMCE as well. This TFG ends with a section dedicated to different conclusions and possible future works around this topic.