Un acercamiento numérico al problema de los tres cuerpos

Abstract

ABSTRACT: The three-body problem is a nonlinear, non analytically solved without approximations problem which is key in the understanding on the motion of three free bodies bounded by gravitational attraction, such us the Sun-Earth-Moon system. The following work presents the development and results of a numerical program that solves the three-body problem as if none of the work around it were done before. We've started from the Newton's gravitational law and continued with the learnings got from the Physics degree. We've solved the ODE2 for the acceleration of each of the bodies, so we got it's positions as a function of time, considering the bodies moved always in a Cartesian plane. The program was developed to numerically integrate these equations and to permit the analysis of different quantities related to the observed motion under different conditions. We've extensively tested the code for different examples, such us the Sun-Earth-Moon system and the Satellite-Earth-Moon system. We got that, while the integration step is h < 10 s and the bodies aren't closer than R* = 9 x 106 m, the program returns reasonable solutions for the Sun-Earth-Moon system and the Satellite-Earth-Moon system. We've done a fine-tuning to get the simulated system to behave in a similar way the real system does, but getting the orbits more circular in order to simplify the interpretations of the results. The initial conditions we had to set when the three bodies were free were so fine that, for example, changing the Earth's speed δv_ = 1 m/s, made its period change δT_ = 1 hour. When we set the initial conditions so the bodies had to move in circular motion, we got that Earth and Moon disturbed each other. The Earth got an eccentricity of ε_ = 0:05 and the Moon ε M = 0:28. We've study the Moon's stability when making little perturbations in its orbit, while the other conditions remained the same. We got that it needs to change its path δθ = 1:2o in order to disengage from the Earth's orbit. We've make an attempt to study the stability of the system, and, during two hundred years, it hasn't seem to have any trend to change. Comparing the geostationary satellite with and without Moon, we got that, because of the Moon influence, it had a delay of around two hours every day. We made a study of the orbits for different distances to the Earth. We got that while the satellite remains near the Earth (not further than R** ≈ 2 x 108 m), there are periodical perturbations in the orbit with respect to the circular case, but they don't seem to present any trend to change its orbit. Once the satellite surpasses this critical orbit the Moon traps it and its orbit gets chaotic. In this stage the satellite usually gets so close to the Moon that the error stack starts to be a problem. However, taking a small enough integration step, this error shouldn't mean any problem. When getting too close to the Moon, the satellite gets a boost in its speed due to momentum transfer. If the energy transferred results enough, the satellite escape from the system. Apart from the cases where the satellite and the Moon get too close to each other, where we may need an adaptive integration step, the program works well and allows us to make a detailed study of any case of the problem. Taking a look to the whole project, we have developed a reliable tool, within the approximations we have taken. The program has resulted useful for the study of these type of problems and, with some improvements to cover some identified weak issues, can be used for a more detailed studies of the three body problem itself or other similar problems.

RESUMEN: El problema de los tres cuerpos es un problema no lineal, no resoluble analíticamente sin aproximaciones, clave en la comprensión del movimiento de tres cuerpos que se atraen gravitacionalmente entre sí, como pasa en el sistema Sol-Tierra-Luna. El siguiente trabajo presenta el desarrollo y los resultados de un programa de cálculo numérico que resuelve el problema de los tres cuerpos como si ningún otro trabajo se hubiese desarrollado antes sobre él. Hemos partido de la ley de la gravitación universal de Newton y seguido con los conocimientos adquiridos en el grado en física. Haciendo uso de Matlab y a través de la implementación del método Runge Kutta de cuarto orden, hemos resuelto la EDO2 para la aceleración de cada uno de estos cuerpos, de manera que obtuvimos sus posiciones como funciones del tiempo. Consideramos que los cuerpos siempre se movían en el plano cartesiano. El programa fue desarrollado para integrar numéricamente estas ecuaciones, y permitirnos analizar diferentes magnitudes relacionadas con el movimiento observado bajo diferentes condiciones. Realizamos un análisis exhaustivo del código con diferentes ejemplos, como el sistema Sol-Tierra-Luna y el sistema Satélite-Tierra-Luna. Obtuvimos que, mientras el paso de integración fuera h < 10 s y la distancia entre los cuerpos no fuese menor de R* = 9 x 106 m, el programa nos daba soluciones razonables para los sistemas Sol-Tierra-Luna y Satélite-Tierra-Luna. Hemos hecho un ajuste fino para que las simulaciones se comportasen de manera parecida a los sistemas reales, pero con las _orbitas más circulares para poder simplificar las interpretaciones de los resultados. Las condiciones iniciales que tuvimos que introducir para los tres cuerpos libres eran tan sensibles que, por ejemplo, cambiando la velocidad de la Tierra δv_ = 1 m/s cambiaba su período δT = 1 hora. Cuando introdujimos las condiciones iniciales para que la Luna y la Tierra se movieran de manera circular de manera separada, nos dimos cuenta que al simular el sistema completo éstas dejaban de moverse circularmente pues se perturbaban la una a la otra. La excentricidad de la Tierra era de ε_ = 0:05 y la de la Luna de εM = 0:28. Hemos estudiado la estabilidad de la Luna tras hacer pequeñas perturbaciones en su órbita, mientras el resto de las condiciones las dejábamos igual. Encontramos que ésta necesitaba cambiar su trayectoria 1:2o para desacoplarse de la órbita terrestre. Hemos tratado de estudiar la estabilidad del sistema, y durante doscientos años no hemos encontrado ninguna tendencia del sistema que indique algún cambio en su trayectoria. Comparando el satélite geostacionario con y sin Luna, hemos visto que, debido a la influencia de ésta, el satélite sufría un retraso de dos horas cada día. Hicimos un estudio de las órbitas del satélite a distintas distancias de la Tierra, y mientras éste permaneciese no más lejos de R** ≈ 2 x 108 m, encontramos perturbaciones periódicas que no aparecen en el caso completamente circular, pero no parecen mostrar ninguna tendencia a cambiar su órbita. Cuando el satélite sobrepasa la distancia límite, la Luna lo atrapa y empieza a comportarse de manera caótica. En este caso el satélite suele acercarse tanto a la Luna que el error acumulado empieza a ser problemático. Sin embargo, tomando un paso de integración suficientemente pequeño, este error no debería suponer un problema suficientemente grande como para cambiar la trayectoria del satélite. Cuando el satélite se acerca tanto a la Luna, éste recibe un incremento de velocidad debido a transferencia de momento. Si esta energía es suficientemente grande, el satélite puede incluso escapar del sistema. Aparte de los casos en los que el satélite se acerca demasiado a la Luna, donde debiéramos tomar un paso adaptativo, el programa funciona bien y nos permite hacer un estudio detallado de cualquier caso de este problema. Teniendo en cuenta el proyecto entero, hemos desarrollado una herramienta en la que confiar, dentro del límite de nuestras aproximaciones, y que ha resultado útil para el estudio de este tipo de problemas y, con algunas mejoras para suplir las deficiencias ya identificadas, puede ser empleado para estudios más detallados del problema de los tres cuerpos u otros problemas similares.