Estimación de intervalos de confianza para situaciones con parámetros de interés en la proximidad de límites

Abstract

RESUMEN: En este trabajo se estudian diferentes estrategias y métodos para calcular intervalos de confianza para parámetros de interés. Se discutirá acerca de los efectos que tienen estos métodos en la proximidad de límites impuestos mediante restricciones. Se introduce la noción de coverage, que es la forma utilizada a lo largo del trabajo para comparar los intervalos. Se comprobará como evoluciona la probabilidad de cobertura de los intervalos de confianza construidos por cada uno de los métodos utilizados para diferentes valores del parámetro de interés. Además se explican los métodos de Neyman y Feldman-Cousins y se realizará la implementación de los algoritmos en R que siguen sus estrategias para calcular bandas de confianza. En cada una de las bandas de confianza se verán las distintas características que estas presentan. Estas bandas se representan utilizando R mediante generadores de números aleatorios para realizar simulaciones de las cuales se obtienen muestras aleatorias simples. Se han utilizado también estrategias útiles para estimar el valor de un parámetro, el método de la máxima verosimilitud, dando su definición teórica y aplicándolo para la resolución de casos en los que es posible hacer el cálculo analítico. Además, se muestra su uso en los algoritmos de los métodos implementados en R tanto para casos sencillos, como para casos con frontera. También se explica un método aproximado, que utiliza el desarrollo en serie de Taylor para aproximar la función de verosimilitud de una distribución cualquiera en un punto para transformar el problema al caso de una distribución normal. Para resolver este último, se utilizará un método que calcula de forma semianalítica los intervalos de confianza de una distribución N(µ,1) evitando así el coste temporal que supone utilizar métodos de Montecarlo. Por último, se realiza una comparativa en la que se puede ver el rendimiento de cada uno de ellos.

ABSTRACT: In this paper, different strategies and methods are studied to calculate confidence intervals for parameters of interest. The effects of these methods on the proximity of boundaries will be discussed. The concept of coverage is introduced, which is the way used throughout the document to compare the intervals. It will be verified how the coverage probability of the confidence intervals constructed by each of the methods used for different values of the parameter of interest will evolve. In addition, the Neyman and Feldman-Cousins methods are explained and the implementation of the algorithms in R that follow their strategies to calculate confidence belts is carried out. We will see the diffences between each of the confident belts preesented. These confidence belts are represented using R with random number generators to perform simulations from which simple random samples were obtained. Useful strategies have also been used to estimate the value of a parameter, strategies like the maximum likelihood method, giving its theoretical definition and applying it to solve cases in which it is possible to perform the analytical calculation. In addition, its use is shown in the algorithms of the methods implemented in R both for simple cases and for cases with boundaries. An approximate method is also explained, which uses the Taylor series expansion to approximate the likelihood function of any distribution at a point to convert the problem to the case of a normal distribution. To resolve the latter, a method that semi-analytically calculates the confidence intervals of an N(µ,1) distribution will be used to avoid the time cost of using Montecarlo methods. At last, we will do a comparison between the performance of each of them.