Género de curvas algebraicas

Abstract

RESUMEN: El objetivo principal de la presente memoria es el estudio de las curvas algebraicas planas y, más concretamente, el desarrollo y la implementación en el software matemático SAGE de un algoritmo simbólico para calcular el género de una curva plana definida sobre Q. El estudio del género, que constituye el primer invariante birracional de una curva, resulta interesante para determinar su racionalidad o para estudiar la equivalencia birracional entre curvas. Para su cálculo emplearemos un método local afín basado en la explosión de singularidades. Asimismo, profundizaremos en el estudio de las herramientas básicas del Álgebra Conmutativa tales como la descomposición primaria de ideales, y, con el fin de realizar únicamente operaciones racionales, traduciremos a Q ciertos cálculos definidos sobre C mediante el uso de la conjugación de Galois.

ABSTRACT: The main goal of this report is the study of algebraic plane curves and, more precisely, the development and implementation, using the mathematical system software SAGE, of a symbolic algorithm for computing the genus of a plane curve defined over Q. The study of the genus, which is the first birational invariant of a curve, turns out to be interesting to determinate its rationality or the birational equivalence between curves. In order to compute it, we will use a method based on local affine blow ups of singularities. We will also delve into the study of basic Commutative Algebra tools, like primary decomposition of ideals, and, for the purpose of using operations over the rational only, we will translate to Q some calculations defined over C by means of Galois conjugation.