Atribución-NoComercial-SinDerivadas 3.0 España
El objetivo de este trabajo es comenzar la clasificación de politopos reticulares de dimensión 3 con n puntos reticulares, para n pequeño, módulo equivalencia unimodular. El punto de partida es la demostración de que, aunque el número de clases de equivalencia para cada valor de n es infinito, solamente una cantidad finita de ellas tienen anchura mayor que uno, y la clasificación de las de anchura uno es un problema relativamente fácil. Para n = 4 estamos hablando de tetraedros vacíos, cuya clasificación es bastante clásica (White, Howe) y tienen todos anchura 1. Para n = 5 demostramos que hay exactamente 9 (clases de) politopos de anchura 2, y ninguno de anchura mayor. Para n = 6 demostramos que hay 74 clases de anchura 2, dos clases de anchura 3, y ninguna de anchura mayor. Nuestra motivación proviene en parte del concepto de politopos con sumas distintas (distinct-pair-sum, o dps) estudiado por Reznick. Es sabido que los 3-politopos dps tienen como mucho 8 puntos reticulares. Entre las 9 + 74 + 2 clases mencionadas más arriba exactamente 9 + 44 + 1 son dps. Una posible continuación de este trabajo, que requeriría quizá nuevas técnicas, sería continuar la clasificación para n = 7 y 8, restringida al caso dps.
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