Las métricas de condicionamiento

Abstract

RESUMEN: En esta memoria exponemos los resultados del estudio del siguiente problema: dadas una variedad riemanniana M y una subvariedad N, multipliquemos la métrica en M por el inverso del cuadrado de la distancia a N. Se obtiene así una nueva estructura métrica en la variedad ambiente M. Un problema particularmente importante para las aplicaciones es si los segmentos geodésicos en la nueva métrica cumplen que su punto más cercano a la subvariedad N es alguno de sus extremos. Las aportaciones de nuestro trabajo son: 1. Un estudio experimental de numerosos ejemplos concretos, para lo cual se ha desarrollado una librería específica escrita en lenguaje Python que permite calcular geodésicas y analizar la propiedad arriba descrita. 2. Un análisis geométrico del problema general en la esfera y en el espacio hiperbólico que, junto con los resultados ya conocidos para el caso euclídeo, completa el estudio en los tres espacios clásicos. Esta es la principal aportación de nuestro trabajo y contiene resultados teóricos novedosos no triviales.

ABSTRACT: In this manuscript we describe the results we have obtained when studying the following problem: given a Riemannian manifold M and a submanifold N, let us multiply the metric on M by the inverse of the squared distance to N. A new metric structure on the ambient manifold M is obtained this way. A problem of particular interest for the applications is whether every geodesic segment in the new metric satisfies that its closest point to the submanifold N is one of its endpoints. The main contributions of our work are: 1. An experimental study covering several concrete examples, which has required the design and implementation of an specific library written in Python which allows to compute geodesics and analyze the property de- scribed above. 2. A geometric analysis of the general problem in the sphere and the hyperbolic space that, together with the currently known results concerning the Euclidean case, completes the study of the three classical spaces. This is our main contribution and it contains new, non-trivial theoretical results.