Estructuras geométricas en geometría generalizada

Abstract

La presente tesis se enmarca en el área de la geometría generalizada, cuyo objeto de estudio es el fibrado tangente generalizado de una variedad. En la primera parte de la tesis estudiamos diferentes estructuras geométricas generalizadas, tratando de organizar las introducidas por otros autores y presentando nuevas estructuras. De esta forma, comprobamos que las estructuras geométricas clásicas inducen múltiples estructuras geométricas en el fibrado tangente generalizado. En la segunda parte buscamos ejemplos explícitos de estructuras generalizadas para ciertas variedades diferenciables, centrándonos en su integrabilidad. En concreto, planteamos una versión análoga al problema de Hopf para la esfera de dimensión seis en geometría generalizada, demostrando que no existe ninguna combinación esférica integrable de las estructuras casi complejas generalizadas que se inducen a partir del producto de los octoniones puros. Además, construimos un gran número de estructuras complejas generalizadas fuertes para cada nilvariedad de dimensión ocho y paso dos, demostrando que, entre otras, todas ellas admiten estructuras complejas o simplécticas clásicas.

This doctoral thesis belongs to the field of generalized geometry, which takes as its main object of study the generalized tangent bundle of a manifold. In the first part of this thesis we study various generalized geometric structures, aiming to organize those introduced by other authors and to present new ones. In doing so, we show that classical geometric structures give rise to multiple induced structures on the generalized tangent bundle. In the second part, we seek explicit examples of generalized structures on certain differentiable manifolds, focusing on their integrability. Specifically, we propose a generalized geometry analogue of the Hopf problem for the six-dimensional sphere, proving that there exists no integrable spherical combination of the generalized almost complex structures induced by the multiplication of pure octonions. Furthermore, we construct a large number of strong generalized complex structures on each two-step nilfmanifold of dimension eight, showing, among other results, that all of them admit either a complex or a symplectic structure.