Álgebras (geométricas) de Clifford como un lenguaje unificado para la física multidisciplinaria

Abstract

Este Trabajo de Fin de Grado tiene como objetivo explorar cómo las Álgebras de Clifford proporcionan un lenguaje matemático unificado y eficiente para abordar una amplia gama de fenómenos físicos. Lejos de ser una herramienta puramente abstracta, estas álgebras permiten formular de forma compacta y geométricamente transparente conceptos clave de la física clásica y moderna, sin recurrir necesariamente a representaciones matriciales. En el contexto tridimensional, se introducirá el álgebra de Clifford como herramienta para describir desde la dinámica de sólidos rígidos hasta el comportamiento del espín electrónico, todo ello sin matrices, facilitando una interpretación geométrica clara. Este enfoque se extenderá posteriormente al espacio-tiempo de la relatividad especial, permitiendo un tratamiento natural de las transformaciones de Lorentz, que se integra con lo ya desarrollado en el caso euclídeo. Una parte central del trabajo será la reformulación del electromagnetismo clásico en términos de ´algebras de Clifford. Se mostrará cómo las ecuaciones de Maxwell pueden expresarse como una única ecuación en este formalismo, lo que ofrece ventajas tanto conceptuales como computacionales. Además, mediante una generalización del cálculo diferencial e integral, se abordarán problemas de dispersión, radiación y propagación de ondas electromagnéticas desde esta perspectiva. El TFG también explorará cómo las ecuaciones de Dirac pueden reformularse de forma real y sin matrices dentro de este marco, permitiendo tratar temas de gran relevancia como las simetrías gauge o la descripción algebraica de sistemas de múltiples partículas. Finalmente, se presentará una aproximación alternativa a la gravedad, basada en simetrías de gauge sobre un espacio- tiempo plano. A nivel formal, se explorará cómo este enfoque permite reexaminar problemas tradicionales de la relatividad general desde un punto de vista algebraico, proporcionando métodos de resolución e interpretación distintos a los convencionales.

This Final Degree Project aims to explore how Clifford Algebras provide a unified and efficient mathematical language to address a wide range of physical phenomena. Far from being a purely abstract tool, these algebras allow key concepts of classical and modern physics to be formulated in a compact and geometrically transparent way, without necessarily resorting to matrix representations. In the three-dimensional context, Clifford algebra will be introduced as a tool to describe phenomena ranging from the dynamics of rigid bodies to the behavior of electron spin, all without matrices, facilitating a clear geometric interpretation. This approach will later be extended to the spacetime of special relativity, enabling a natural treatment of Lorentz transformations, which integrates with what has already been developed in the Euclidean case. A central part of the work will be the reformulation of classical electromagnetism in terms of Clifford algebras. It will be shown how Maxwell’s equations can be expressed as a single equation within this formalism, offering both conceptual and computational advantages. Furthermore, through a generalization of differential and integral calculus, problems of scattering, radiation, and electromagnetic wave propagation will be addressed from this perspective. The project will also explore how Dirac’s equations can be reformulated in a real, matrix-free manner within this framework, allowing the treatment of highly relevant topics such as gauge symmetries or the algebraic description of multi-particle systems. Finally, an alternative approach to gravity will be presented, based on gauge symmetries over a flat spacetime. At a formal level, this approach will be explored to reexamine traditional problems of general relativity from an algebraic point of view, providing solution methods and interpretations different from the conventional ones.