Foliaciones y valores diferenciales en la clasificación analítica de cúspides planas

Abstract

El objetivo de esta tesis es el estudio de invariantes analíticos de curvas planas irreducibles con un solo par de Puiseux, denominadas cúspides. El semimodulo de valores diferenciales de una curva es uno de los principales invariantes analíticos que aparece en la clasificación analítica de curvas planas. En esta tesis se describe su combinatoria y se estudia el comportamiento geométrico de las 1-formas que cuyos valores diferenciales dan un sistema minimal de generadores del semimódulo. Estas 1-formas constituyen una base estándar de la curva. Se prueba que las 1-formas de una base estándar de una curva C definen foliaciones dicríticas en el divisor cuspidal que permiten definir una familia de curvas, que se denominan semirraíces analíticas y que aproximan el tipo analítico de C. Una base de Saito de una curva C está formada por dos 1-formas que generan el módulo de gérmenes de 1-formas holomorfas que tienen a la curva C como curva invariante. Se describe la construcción de una base de Saito para cúspides y se introducen nuevos invariantes analíticos a partir de valoraciones divisoriales. Además, se describen raíces del polinomio de Bernstein-Sato de una cúspide a partir del del semimodulo de valores diferenciales.

The goal of this thesis is to study analytic invariants of irreducible plane curves with a single Puiseux pair, named cusps. The semimodule of differential values of a curve is one of the main analytic invariants appearing in the analytic classification of plane curves. In this thesis we describe its combinatorics and we study the geometrical behaviour of the 1-forms whose differential values give a minimal system of generators of the semimodule. These 1-forms constitute a standard basis of the curve. We prove that the 1-forms of a standard basis of a curve C define dicritical foliations in the cuspidal divisor which allow to define a family of curves, denominated analytic semiroots, approximating the analytic type of C. A Saito basis of the curve C is given by two 1-forms which generate the module of germs of holomorphic 1-forms having C as an invariant curve. We describe the construction of a Saito basis for cusps and we introduce new analytic invariants from divisorial valuations. Moreover, we also describe roots of the Bernstein-Sato polynomial of a cusp in terms of the of the semimodule of differential values.