Problemas espectrales en barras delgadas

Abstract

Consideramos el espectro del operador de Laplace en modelos de estructuras de barras 3D con una pequeña sección transversal que depende de un parámetro ϵ. Las condiciones de contorno son, principalmente, de tipo mixto (Dirichlet-Neumann). Estudiamos el comportamiento asintótico de los valores propios, y de las funciones propias asociadas, cuando ϵ → 0. En particular, los aproximamos por los de un modelo 1D que tiene en cuenta la geometría del dominio original. Los cálculos explícitos y numéricos ilustran el interés de este estudio cuando el parámetro se hace pequeño, para distintas condiciones de contorno. Para diversos dominios, mostramos el distinto comportamiento asintótico del espectro dependiendo de las condiciones de contorno.

We consider the spectrum of the Laplace operator on 3D rod structures with a small cross section that depends on a ϵ parameter. The boundary conditions are mainly of mixed (Dirichlet-Neumann) type. We study the asymptotic behaviour of the eigenvalues, and of the associated eigenfunctions, when ϵ → 0. In particular, we approximate them by those of a 1D model that takes into account the geometry of the original domain. Explicit and numerical calculations illustrate the interest of this study when the parameter becomes small, for different boundary conditions. For different domains, we show the different asymptotic behaviour of the spectrum depending on the boundary conditions.