Sobre la propiedad del punto fijo en espacios topológicos

Abstract

En este trabajo, se estudia la propiedad del punto fijo en espacios topológicos. Un espacio topológico X tiene la propiedad del punto fijo si toda aplicación continua f : X → X deja al menos un punto invariante. Esta es una propiedad topológica, ya que se conserva por homeomorfismos. A lo largo de la memoria se presentan, por un lado, ejemplos de espacios que sí cumplen esta propiedad y, por otro, ejemplos que no la satisfacen. También construimos espacios que verifican la propiedad del punto fijo a partir de otros que ya la tienen. En el caso de espacios métricos, probamos el Teorema del punto fijo de Banach y una generalización del mismo. En el último capítulo se introducen diferentes propiedades topológicas como la conexión local, la separabilidad, la compacidad local y se estudia la relación de estas propiedades con la propiedad del punto fijo. En particular, se prueba que un espacio topológico con la propiedad del punto fijo es conexo. También se demuestra que, si un espacio métrico localmente conexo y localmente compacto verifica la propiedad del punto fijo, entonces el espacio es compacto.

The present work is a study of the fixed point property in topological spaces. A topological space X is said to have the fixed point property if every continuous map f : X → X leaves at least an invariant point. This is a topological property, as it is preserved under homeomorphisms. Throughout the work, examples of spaces that do satisfy the fixed point property and examples of topological spaces that do not satisfy it are presented. We will also construct new spaces that verify the fixed point theorem from other spaces that already have it. In the case of metric spaces, we will prove the Banach fixed-point theorem and a generalization of it. In the last chapter, different topological properties are introduced such as local connectedness, separability, local compactness and the relation between these topological properties and the fixed point property is studied. In particular, it is proved that a topological space with the fixed point property is connected. Also, it is proved that if a locally connected, locally compact metric spaces has the fixed point property, then it is compact.