Números de caras de politopos : teorema g y teorema de Hinman

Abstract

Un politopo es el análogo en dimensión arbitraria de los poliedros en dimensión tres. Igual que para estos tenemos la famosa ecuación de Euler c − a + v = 2, para politopos de dimensión arbitraria hay restricciones a los posibles números de caras de diferentes dimensiones. Para politopos en general no se conoce el conjunto completo de restricciones, pero para politopos simpliciales sí; las da el llamado Teorema g. En este trabajo introducimos los conceptos principales sobre números de caras de politopos, describimos los principales resultados que se conocen, y demostramos algunos de ellos, como son las Ecuaciones de Dehn-Sommerville y el Teorema de la Cota Superior. También demostraremos una cota inferior reciente debida a Hinman (2023), y que generaliza una conjetura de Bárány (1998).

A polytope is the analog in arbitrary dimension of polyhedra in three dimensions. Just as for those we have the famous Euler equation c−a+v = 2, for polytopes of arbitrary dimension there are restrictions on the possible numbers of faces in different dimensions. For general polytopes the complete set of restrictions is not known, but for simplicial polytopes it is; these are given by the so-called g-Theorem. In this work we introduce the main concepts concerning face numbers of polytopes, describe the principal known results, and prove some of them, such as the Dehn–Sommerville Equations and the Upper Bound Theorem. We also prove a recent lower bound due to Hinman (2023), which generalizes a conjecture by Bárány (1998).