Topologías en los espacios de aplicaciones

Abstract

En el presente trabajo se estudian distintas topologías que pueden definirse sobre el espacio de aplicaciones entre dos espacios topológicos, con el objetivo de analizar propiedades como la convergencia de aplicaciones y la continuidad de operaciones como la evaluación, la composición o la inversión. A lo largo de esta memoria se presentan topologías como la punto-abierta, la compacto-abierta, la uniforme y la topología de la convergencia compacta. En el caso particular en que el espacio de llegada es un espacio métrico, se demuestran resultados clásicos como el Teorema de Ascoli. Finalmente, se analiza el espacio de homeomorfismos de un espacio topológico en sí mismo, donde se introduce la g-topología y se estudian las condiciones bajo las cuales este espacio forma un grupo topológico.

In this work, various topologies on the space of functions are studied with the aim of analyzing properties such as convergence of functions and continuity of operations like evaluation, composition, and inversion. Throughout this work, topologies such as the pointwise topology, the compact-open topology, the uniform topology, and the topology of compact convergence are introduced. In the particular case where the target space is a metric space, classical results such as Ascoli’s Theorem are proven. Finally, the space of homeomorphisms of a topological space into itself is examined, where the g-topology is introduced and the conditions under which this space becomes a topological group are investigated.