Anillos de Picard-Vessiot

Abstract

El objetivo principal del trabajo es el estudio de los anillos de Picard-Vessiot para introducir la teoría de Galois diferencial. Esta teoría puede considerarse una generalización de la teoría clásica de Galois, donde los cuerpos se sustituyen por cuerpos diferenciales y las ecuaciones polinómicas por ecuaciones diferenciales lineales. A lo largo de la memoria se desarrolla, de forma progresiva, el marco necesario para construir una extensión del cuerpo base que contenga un sistema fundamental de soluciones de una ecuación diferencial, el anillo de Picard-Vessiot. Se empezará por los conceptos de anillos y cuerpos diferenciales, ecuaciones diferenciales lineales y posteriormente anillos y extensiones de Picard-Vessiot. El trabajo finaliza con el estudio del grupo de automorfismos del anillo de Picard-Vessiot que conmutan con la derivación, conocido como grupo de Galois diferencial, y se enunciará el Teorema Fundamental de la teoría de Galois diferencial

The main objective of this final project is the study of Picard-Vessiot rings as a means to introduce differential Galois theory. This theory can be seen as a generalization of classical Galois theory, where fields are replaced by differential fields, and polynomial equations by linear differential equations. Throughout the work, the necessary framework is progressively developed to construct an extension of the base field that contains a fundamental system of solutions of a differential equation, the Picard-Vessiot ring. It is started with the concepts of differential rings and fields, followed by linear differential equations, and then Picard-Vessiot rings and extensions. The project concludes with the study of the group of automorphisms of the Picard-Vessiot ring that commute with the derivation, known as the differential Galois group. The Fundamental Theorem of Differential Galois Theory will be stated.