Compactificación de espacios topológicos

Abstract

En este trabajo se estudiarán las compactificaciones de espacios topológicos. Una compactificación de un espacio topológico X es un par ordenado (K, h) donde K es un espacio Hausdorff compacto y h es un embebimento de X en K con h(X) denso en K. Para llevar a cabo este estudio, se introducirán primero nociones, resultados y ejemplos sobre axiomas de separación, en especial aquellas relativas a los espacios Hausdorff y Tychonoff, y sobre la compacidad local, ya que estos conceptos nos proporcionarán propiedades indispensables para la construcción de las compactificaciones. Posteriormente, definiremos las compactificaciones, daremos algunos ejemplos y definiremos un orden sobre el conjunto de las compactificaciones de un espacio topológico X. A continuación, estudiaremos en más detalle tres tipos de compactificaciones: la compactificación por un punto o compactificación de Alexandroff, que veremos que es la compactificación minimal considerando el orden dado para las compactificaciones. La compactificación de Stone-Čech, que probaremos que es la compactificación maximal. Y por último, la compactificación por n puntos, que se puede considerar como una generalización de la de Alexandroff.

In this project we will study compactifications of topological spaces. A compactification of a topological space X is an ordered pair (K, h) where K is a compact Hausdorff space and h is an embedding of X in K with h(X) dense in K. In order to carry out this study, we will first introduce notions, results and examples on separation axioms, in particular those concerning the Hausdorff and Tychonoff spaces, and on local compactness, since all this concepts will provide indispensable properties for the construction of compactifications. We will then define compactifications, give some examples and define an order on the collection of compactifications of a topological space X. Afterwards, we will study in more detail three types of compactifications: the one-point compactification or Alexandorff compactification, which we will see that it is the minimal compactification according to the order given for the compactifications. The Stone-Čech compactification, which we will prove to be the maximal compactification. And lastly, the n-point compactification, which can be considered to be a generalisation of the Alexandroff compactification.