Proyección sobre un conjunto convexo y cerrado

Abstract

En el presente trabajo se abordará el estudio de la proyección sobre conjuntos convexos y cerrados de un espacio de Hilbert. Para ello, se comenzará introduciendo los conceptos teóricos fundamentales, así como el Teorema Fundamental de la Proyección, lo que permitirá posteriormente ilustrar diferentes situaciones mediante ejemplos y representaciones gráficas. A continuación, se analizarán casos particulares en dimensión finita, deduciendo las fórmulas clásicas para calcular distancias entre puntos, rectas y planos; y resolviendo una serie de problemas clásicos de mínimos cuadrados, analizados desde el punto de vista de las proyecciones. Todo ello servirá como base para extender el estudio a contextos de dimensión infinita, siendo de especial relevancia el caso del espacio de funciones medibles de cuadrado integrable. Posteriormente, se estudiarán las proyecciones sobre la intersección de subespacios cerrados, presentando y demostrando el Método de Von Neumann, acompañado de ejemplos que facilitarán su comprensión y aplicación. Seguidamente, se introducirán las transformadas de Fourier y se aplicarán al análisis de conjuntos previamente estudiados. Además, se abordarán dos aplicaciones prácticas de especial interés relacionadas con la optimización y la teoría de control óptimo. El primer ejemplo tratará el lanzamiento de un cohete al espacio, donde se analizará la relación entre empuje y peso. El segundo se centrará en la Ecuación del Estado, modelo fundamental utilizado en campos tan variados como la economía, la carrera espacial y el tratamiento de tumores en medicina. Este recorrido teórico-práctico busca ofrecer una visión completa y estructurada del papel de las proyecciones, destacando su relevancia tanto en la teoría matemática como en diversas aplicaciones prácticas. A lo largo del trabajo se ha puesto de manifiesto cómo estas herramientas permiten abordar y resolver problemas de gran interés, evidenciando su papel fundamental en múltiples contextos.

This project focuses on the study of projection onto convex and closed sets in a Hilbert space, a property that ensures the existence and uniqueness of solutions. To this end, the work begins by introducing the fundamental theoretical concepts related to Hilbert spaces, as well as the Fundamental Theorem of the Projection, which will later allow for the illustration of various situations through examples and graphical representations. Next, particular cases in finite-dimensional spaces are analyzed, deriving the classical formulas for calculating distances between points, lines, and planes, as well as solving a series of classical least squares problems from the perspective of projections. These results serve as a foundation for extending the study to infinite-dimensional contexts, with special emphasis on the space of square-integrable measurable functions. Subsequently, projections onto the intersection of closed subspaces are studied, including the presentation and proof of the Von Neumann Method, supported by examples that will facilitate its understanding and application. Finally, Fourier transforms are introduced and applied to the analysis of sets previously studied. Additionally, two practical applications of particular interest related to optimization and optimal control theory are addressed. The first example involves the launch of a rocket into space, analyzing the relationship between thrust and weight. The second focuses on the State Equation, a fundamental model used in diverse fields such as economics, space exploration, and tumor treatment in medicine. This theoretical and practical journey aims to provide a comprehensive and structured view of the role of projections, highlighting their importance both in mathematical theory and in various real-world applications. Throughout the project, it is demonstrated how these tools can be used to address and solve problems of great interest, underscoring their fundamental role in multiple contexts.