Longitud de módulos

Abstract

Es bien conocido el concepto de dimensión de un espacio vectorial, y sus propiedades. Sin embargo, la definición de dimensión en términos del cardinal de una base no se puede aplicar a otras estructuras algebraicas, como por ejemplo, para un módulo o un grupo. De este problema, nace el concepto de longitud de un módulo o grupo. En este trabajo se estudiarán las propiedades de la longitud para módulos y para grupos, mostrando algunos ejemplos y analizando este concepto profundamente. Se verá cómo calcular esta longitud introduciendo nociones como la de serie de composición, o haciendo uso de teoremas clave como el Teorema de Jordan-Hölder. Por último, se hará una introducción a un concepto propio de la geometría algebraica, llamado “número de intersección”, que permite estudiar de qué forma se intersecan dos variedades afines

The concept of the dimension of a vector space and its properties is well known. However, in certain algebraic structures, such as modules or groups, it may not be possible to find a basis in the usual sense. This leads to the notion of the length of a module or a group. This report explores the properties of length in the context of modules and groups, illustrating these ideas through examples and providing an in-depth analysis of the concept. Methods for computing the length will be examined, introducing tools such as composition series and employing key results like the Jordan–Hölder Theorem. Finally, the text presents an introduction to a central concept in algebraic geometry known as the intersection number, which formalizes how two affine varieties intersect. This notion is deeply connected to the concept of length.