Problema inverso de Galois

Abstract

En la perspectiva habitual de la teoría de Galois se parte de polinomios para describir sus grupos de automorfismos. El Problema Inverso de Galois trata de revertir este enfoque, dado un grupo se estudia si existe algún polinomio sobre el cuerpo de los racionales que lo tenga como grupo de Galois. En este trabajo fin de grado se demuestra que todo grupo abeliano finito se puede realizar como grupo de Galois dentro de una extensión ciclotómica, siguiendo los pasos que culminaron en el Teorema de Kronecker-Weber. A continuación, se elaboran polinomios cuyo grupo de Galois es el grupo simétrico utilizando la transitividad del grupo y la aparición de determinados ciclos, con el respaldo siempre del Teorema de Dedekind. La realización de los grupos alternados se logra forzando discriminantes cuadrados y empleando el Teorema de Irreducibilidad de Hilbert. Además, se exhibe la realización del grupo de los cuaterniones siguiendo una construcción clásica mediante extensiones cuadráticas en torre, aprovechando la estructura del grupo. Por último, se demuestra que los grupos diédricos son también realizables y se hace una mención a los grupos simples finitos.

In the usual perspective of Galois theory, one starts from polynomials to describe their groups of automorphisms. The Inverse Galois Problem seeks to reverse this approach: given a group, one studies whether there exists a polynomial over the field of rational numbers whose Galois group is precisely that group. In this final degree project it is shown that every finite abelian group can be realized as a Galois group within a cyclotomic extension, following the steps that culminated in the Kronecker–Weber theorem. Next, polynomials are constructed whose Galois group is the symmetric group, using the group’s transitivity and the presence of certain cycles, always backed by Dedekind’s theorem. The realization of alternating groups is achieved by forcing square discriminants and applying Hilbert’s Irreducibility Theorem. Also, the realization of the quaternion group is exhibited following a classical construction using a tower of quadratic extensions, exploiting the group’s internal structure. Finally, it is shown that the dihedral groups are realizable as well and the finite simple groups are mentioned.