Teoría de martingalas y cálculo estocástico para la derivación de la fórmula de Black-Scholes

Abstract

Este trabajo tiene como objetivo la obtención de la fórmula de Black-Scholes-Merton, empleada en la valoración de opciones financieras. Para ello, se desarrolla el marco matemático necesario, centrado principalmente en la teoría de martingalas y el cálculo estocástico, así como en una breve aplicación y consecuencias de la fórmula en la práctica. Se abordan conceptos fundamentales como el movimiento browniano, los procesos estocásticos, las integrales y procesos de Itô, así como el teorema de Girsanov, entre otros. La metodología seguida no solo permite obtener la fórmula de Black-Scholes de manera formal, sino que también proporciona una base teórica sólida para abordar la valoración de derivados financieros más complejos.

This work aims to derive the Black-Scholes-Merton formula, which is used in the valuation of financial options. For this purpose, the necessary mathematical framework is developed, focusing primarily on martingale theory and stochastic calculus, as well as a brief application and practical consequences of the formula. Key concepts such as Brownian motion, stochastic processes, Itô integrals and processes, as well as Girsanov’s theorem, are discussed. The methodology presented not only leads to a formal derivation of the Black-Scholes formula, but also provides a solid theoretical foundation for tackling the valuation of more complex financial derivatives.