Resolución de algunas ecuaciones en derivadas parciales con condiciones de frontera

Abstract

Este trabajo de fin de grado se centra en el estudio y resolución de ecuaciones en derivadas parciales (EDP), especialmente de las que presentan condiciones de frontera. A lo largo de los capítulos se abordan distintos tipos de ecuaciones, la del calor, la de ondas y en menos medida la de Laplace, en diferentes dominios y con diferentes condiciones de frontera. En primer lugar, se analizan problemas de valor inicial en semirrectas, introduciendo técnicas como el método de reflexión que permite extender el problema a toda la recta real facilitando su resolución. También se consideran condiciones homogéneas y no homogéneas, así como condiciones de tipo Dirichlet y Neumann. Posteriormente, nos centramos en resolver problemas definidos en intervalos finitos, introduciendo el método de Fourier como herramienta fundamental en su resolución. Se analizan las condiciones necesarias para la existencia y unicidad de las soluciones, además de otras condiciones de frontera, las de tipo Robin. Por último, se abordan problemas no homogéneos, tanto en las condiciones como en las ecuaciones, y se muestra como transformarlos en otros equivalentes con condiciones de frontera homogéneas. Además, también se resuelve la ecuación de Laplace en dominios bidimensionales, y con condiciones de frontera mixtos.

This project is focus on the study and solution of partial differential equations (PDEs), particularly those involving boundary conditions. Throughout the chapters, various types of equations are addressed, including the heat equation, the wave equation, and Laplace’s equation, in different domains and with different boundary conditions. First, initial value problems on half-lines are analyzed, introducing techniques such as the reflection method, which allows the problem to be extended to the entire real line, thereby facilitating its solution. Both homogeneous and non-homogeneous conditions are considered, as well as Dirichlet and Neumann boundary conditions. Subsequently, the focus shifts to solving problems defined on finite intervals, introducing the Fourier method as a fundamental tool for their resolution. The necessary conditions for the existence and uniqueness of solutions are analyzed, along with other types of boundary conditions, such as Robin conditions. Finally, non-homogeneous problems are addressed, both in the conditions and in the equations themselves, and it is shown how to transform them into equivalent problems with homogeneous boundary conditions. Additionally, Laplace’s equation is solved in two-dimensional domains with mixed boundary conditions.