Una generalización del problema de Basilea

Abstract

Este trabajo estudia y amplía el célebre problema de Basilea, que consiste en calcular la suma de los inversos de los cuadrados de los números naturales, es decir, X∞ n=1 1 n2 = π 2 6 , resultado obtenido por Euler en el siglo XVIII. Se presentan diversas demostraciones de este resultado, comenzando con una aproximación histórica y formal basada en productos infinitos, seguida de una demostración completamente elemental mediante desigualdades trigonométricas. A continuación, se generaliza el método para obtener una fórmula cerrada para ζ(2n), donde ζ es la función zeta de Riemann, utilizando exclusivamente herramientas elementales y recurriendo al uso de los números de Bernoulli. Finalmente, se exploran generalizaciones del resultado de Euler para sumas más complejas mediante el uso de transformadas de Fourier y el teorema de sumación de Poisson.

This work studies and extends the famous Basel problem, which consists in computing the sum of the reciprocals of the squares of the natural numbers, namely, X∞ n=1 1 n2 = π 2 6 , a result discovered by Euler in the 18th century. Several proofs of this result are presented, starting with a historical and formal approach based on infinite products, followed by a completely elementary proof using trigonometric inequalities. The method is then generalized to obtain a closed-form expression for ζ(2n), where ζ denotes the Riemann zeta function, using only elementary tools and Bernoulli numbers. Finally, the work explores generalizations of Euler’s theorem to more complex sums using Fourier transforms and the Poisson summation formula.