Existencia de soluciones periódicas en sistemas diferenciales autónomos planos

Abstract

El objetivo de este trabajo es estudiar la existencia y unicidad de soluciones periódicas en sistemas diferenciales autónomos planos. En particular, la existencia de ciclos límite, es decir, trayectorias del sistema asociadas a soluciones periódicas a las cuales se aproximan otras trayectorias cuando el tiempo avanza o retrocede. Para ello, se introducen nociones y resultados sobre este tipo de sistemas diferenciales, entre los que destaca el Teorema de Poincaré-Bendixson, del cual se proporciona su demostración con todo detalle y varios ejemplos con distintos conjuntos límite que se pueden presentar. Posteriormente, se estudia una demostración autocontenida del Teorema de Liénard, el cual garantiza la existencia y unicidad de ciclos límite asintóticamente estables en el sistema asociado a un tipo de ecuación diferencial de segundo orden, la denominada ecuación de Liénard, que se utiliza para modelar sistemas físicos de carácter oscilatorio. Finalmente, se incluyen ejemplos de este tipo de sistemas y se analiza una extensión del Teorema de Liénard que garantiza la existencia pero no la unicidad de ciclos para una ecuación más general que la de Liénard.

The aim of this work is to study the existence and uniqueness of periodic solutions in planar autonomous differential systems. In particular, the existence of limit cycles, this is, trajectories of the system associated with periodic solutions to which other trajectories converge as time moves forward or backward. In this context, notions and results related to this type of differential systems are introduced, with special emphasis on the Poincaré-Bendixson Theorem, whose proof is provided with detail and some examples with several limit sets that can exist. Subsequently, a self-contained proof of Liénard Theorem is studied. This theorem ensures the existence and uniqueness of asymptotically stable limit cycles in the system associated to a specific type of second-order differential equation, the so-called Liénard equation, which is used to model the behaviour of oscillatory physical systems. Finally, examples of such systems are included and an extension of Liénard Theorem is analyzed, which guarantees the existence, but not the uniqueness, of cycles for a more general equation than Liénard equation.