De matrices y superficies pitagóricas

Abstract

Este Trabajo de Fin de Grado tiene como objetivo estudiar las relaciones pitagóricas entre matrices así como las superficies pitagóricas. Para ello, definimos las ternas pitagóricas de números y generalizamos este concepto a matrices que preservan ternas pitagóricas, a matrices que conforman ternas pitagóricas de matrices y finalmente, a superficies pitagóricas. Estas últimas fueron introducidas por M. E. Aydin y A. Mihai en 2020 y se definen como aquellas en que las matrices de las tres primeras formas fundamentales (g, L, III respectivamente) satisfacen la relación pitagórica g² + L² = III². Además, probamos que las superficies pitagóricas están bien definidas (no dependen de las bases escogidas para calcular las matrices de las formas fundamentales) y demostramos que toda superficie pitagórica es una esfera (o parte de una esfera) de radio R = √Φ con Φ = (√5 − 1)/2.

The aim of this work is to study Pythagorean relations between matrices as well as Pythagorean surfaces. To this end, we define Pythagorean triples of numbers and generalize this concept to Pythagorean triple preserving matrices, matrix Pythagorean triples and finally, Pythagorean surfaces. The latter were first introduced by M. E. Aydin and A. Mihai in 2020 and are defined as those in which the matrices of the first three fundamental forms (g,L, III respectively) satisfy the Pythagorean relation g² + L² = III². Furthermore, we prove that Pythagorean surfaces are well-defined (they do not depend on the chosen basis to calculate the matrices of the three fundamental forms) and we show that every Pythagorean surface is a sphere (or part of a sphere) of radius R = √Φ with Φ = √5−1/2.