Minimización de energía y aplicaciones que preservan la medida en esferas, espacios proyectivos y grassmannianas

Abstract

En esta tesis doctoral, exploramos el problema clásico de equidistribuir puntos en esferas, espacios proyectivos y grassmannianas desde dos puntos de vista. Por un lado, estudiamos las energías de Riesz y logarítmica de colecciones finitas de puntos en estos espacios. En este sentido, además de una generalización de una construcción ya existente en la esfera bidimensional con energía logarítmica cercana a la mínima, obtenemos cotas muy precisas para la energía logarítmica en el plano proyectivo real. Asimismo, realizamos un estudio completo del problema de minimizar estas energías en el caso de la grassmanniana Gr 2,4 de planos en R4. Por otro lado, construimos explícitamente aplicaciones que preservan la medida desde el cubo unidad a esferas y espacios proyectivos de cualquier dimensión, entre otros espacios, lo que, en particular, proporciona un método alternativo para generar colecciones de puntos bien distribuidos en estas variedades.

In this doctoral thesis, we explore the classic problem of equidistributing points on spheres, projective spaces, and Grassmannians from two perspectives. On the one hand, we study the Riesz and logarithmic energies of finite collections of points on these spaces. In this regard, in addition to a generalization of an existing construction on the two-dimensional sphere with near-optimal logarithmic energy, we obtain very sharp bounds for the logarithmic energy on the real projective plane. Likewise, we conduct a comprehensive study of the problem of minimizing these energies in the case of the Grassmannian Gr 2,4 of planes in R4. On the other hand, we explicitly construct measure-preserving mappings from the unit cube to spheres and projective spaces of any dimension, among other spaces. These mappings provide an alternative method for generating well-distributed collections of points on these manifolds.