El multiasociaedro y la geometría simpléctica p-ádica

Abstract

El multiasociaedro es el complejo simplicial de los conjuntos de aristas entre n puntos en posición convexa donde no hay k+1 aristas que se crucen dos a dos. En esta tesis hallamos nuevas realizaciones de multiasociaedros usando teoría de la rigidez; relacionamos el problema con la variedad algebraica de las matrices antisimétricas de rango menor o igual que 2k; y lo tratamos de otra forma convirtiendo los grafos involucrados en bipartitos. En esta tesis también resolvemos el problema de clasificar una matriz p-ádica, o equivalentemente un punto crítico de un sistema integrable p-ádico, por transformación simpléctica en dimensión 2 y 4, problema que en el caso real fue resuelto por Williamson. En el caso p-ádico hay muchas más formas normales que en el real, lo que indica que en geometría simpléctica p-ádica ocurren muchos fenómenos novedosos.

The multiassociahedron is the simplicial complex of edge sets between n points in convex position where no k+1 edges pairwise cross. In this thesis we find new realizations of multiassociahedra using rigidity theory; we relate the problem to the algebraic variety of antisymmetric matrices with rank less or equal to 2k; and we treat the problem in a different way converting the involved graphs into bipartite ones. In this thesis we also solve the problem of classifying a p-adic matrix, or equivalently a critical point of a p-adic integrable system, up to symplectic transformation in dimension 2 and 4, a problem which in the real case was solved by Williamson. In the p-adic case there are many more normal forms than in the reals, which indicates that many novel phenomena can happen in p-adic symplectic geometry.