¿Qué parte de un problema numérico está mal condicionado?

Abstract

Este trabajo está dedicado al estudio del número de condición de un problema numérico. En primer lugar, introducimos los conceptos de subproblema y refinamiento, fundamentales para analizar cómo el condicionamiento de un problema puede determinarse observando si alguno de sus subproblemas está mal condicionado. A continuación, diferenciamos entre el número de condición en sistemas determinados y subdeterminados. En el caso de los sistemas determinados, abordamos el número de condición clásico, con el que hemos trabajado durante la carrera. En este contexto, presentamos el Teorema de Rice y estudiamos la aplicación solución, que está relacionada con el número de condición previamente expuesto. Finalmente, nos centramos en el número de condición de mínimos cuadrados, que permite analizar el condicionamiento de sistemas subdeterminados. Para ello, introducimos la aplicación solución de mínimos cuadrados, la cual es esencial para establecer una definición rigurosa del número de condición de mínimos cuadrados. Para alcanzar estos conceptos, es necesario un estudio previo de las Ecuaciones Factibles de Rango Constante (EFRCs), así como de una serie de teoremas y lemas necesarios.

This work is dedicated to the study of the condition number of a numerical problem. First, we introduce the concepts of subproblem and refinement, which are fundamental for analyzing how the conditioned of a problem can be determined by seeing some of its subproblems is ill-conditioned. Next, we differentiate between the condition number for determined and underdetermined systems. For determined systems, we address the classical condition number, which we have worked throughout our studies. In this context, we present Rice’s Theorem and study the solution map which is related to the condition number previously discussed. Finally, we focus on the least-squares condition number, which allows us to analyze the condition of underdetermined systems. To this end, we introduce the least-squares solution map, which is essential for establishing a rigorous definition of the least-squares condition number. To achieve these concepts, we study the feasible constant-rank equations (FCRE), along with a series of related theorems and lemmas.