Espacios de Peano

Abstract

El Teorema de Hahn-Mazurkiewicz permite afirmar que un espacio Hausdorff es imagen continua del intervalo unidad si y sólo si es un espacio compacto, conexo y localmente conexo. Para la demostración de este teorema resultan clave el teorema de Hausdorff que caracteriza los espacios métricos compactos, y el resultado que caracteriza el intervalo unidad en términos de aquellos puntos que en cierta manera lo desconectan. En este trabajo se desarrollan los conceptos y resultados necesarios para proporcionar una demostración autocontenida del Teorema de Hahn-Mazurkiewicz. Para ello, se realizará un estudio de la conexión y la compacidad. También se estudiarán los espacios métricos y la convergencia de sucesiones sobre ellos. Tras presentar la construcción geométrica de la curva de Peano, se estudiarán las propiedades del conjunto de Cantor, demostrando el resultado ya mencionado. Esto nos servirá para introducir la curva de Lebesgue, que otorgará ideas que posteriormente se aprovecharán en el último capítulo para la demostración del teorema central a este trabajo. Antes de poder demostrarlo, se presentarán los espacios conocidos como continuos métricos, de los cuales el intervalo unidad es un caso concreto.

The Hahn-Mazurkiewicz theorem identifies the continuous images of the unit Interval as compact, connected and locally connected spaces. The proof of this theorem requires a characterization obtained by Hausdorff that connects all compact metric spaces with continuous images of the Cantor set, as well as a result that characterizes the unit interval in terms of those points that somehow disconnect it. In this work those concepts and results required to provide a self-contained proof of the Hahn-Mazurkiewicz theorem are developed. To that aim, a study of the topological properties known as compactness and connectedness will be carried out. Metric spaces, as well as the convergence of sequences over them, will also be studied. After providing the reader with the geometrical construction of the Peano curve, the properties of the Cantor set will be studied, providing a proof of the already-mentioned theorem. This will allow us to present the construction of the Lebesgue curve, ideas of which will be leveraged for the proof of the main theorem in the last chapter. Before doing so, the spaces known as metric continua will be presented, out of which the unit interval is an example.