Producto infinito de números complejos

Abstract

Esta memoria introduce el estudio de los productos infinitos en el ámbito de los números complejos, abordando la convergencia de estos productos y analizando diversos métodos para determinarla. Se explora, además, la relación entre la convergencia de los productos infinitos y las series asociadas, incluyendo la convergencia absoluta. Para profundizar en los productos infinitos de funciones holomorfas, se introduce el Criterio M de Weierstrass, que establece que, bajo ciertas condiciones de acotación, un producto infinito de funciones es absolutamente convergente. Este criterio se aplica a ejemplos específicos, como la función zeta de Riemann y las funciones seno y coseno, para ilustrar su utilidad. Finalmente, se presenta el Teorema de Factorización de Weierstrass, que permite expresar cualquier función entera (es decir, una función holomorfa en todo el plano complejo) como un producto infinito basado en sus ceros. Este resultado facilita el análisis y comprensión de la estructura de las funciones enteras.

This manuscript introduces the study of infinite products in the context of complex numbers, addressing their convergence and analyzing various methods to determine it. Additionally, it explores the relationship between the convergence of infinite products and the associated series, including absolute convergence. To delve deeper into infinite products of holomorphic functions, Weierstrass’s M-criterion is introduced. This criterion establishes that, under certain boundedness conditions, an infinite product of functions is absolutely convergent. Specific examples, such as the Riemann zeta function and the sine and cosine functions, are analyzed to illustrate its utility. Finally, the Weierstrass Factorization Theorem is presented, which provides a way to express any entire function (that is, a holomorphic function on the entire complex plane) as an infinite product based on its zeros. This result facilitates the analysis and understanding of the structure of entire functions.