La regla trapezoidal: convergencia exponencial y aceleración mediante cambios de variable

Abstract

Este texto explora la regla trapezoidal en integración numérica, poniendo especial énfasis en su convergencia exponencial en determinados casos y su uso junto a cambios de variable. Se comienza presentando la regla trapezoidal como una fórmula de Newton-Cotes para la estimación de integrales en intervalos cerrados [a, b]. A continuación, se introducen los polinomios de Bernoulli para llegar a la fórmula de Euler-Maclaurin, un resultado importante para el análisis del error de la regla trapezoidal. También se introduce la integración Romberg. Posteriormente, se examina el error de la regla trapezoidal en funciones periódicas y para integrales en la recta real, demostrando su buen comportamiento en estos casos. Finalmente, se introducen cambios de variable para adaptar cualquier integral a otra más adecuada para la regla trapezoidal. El texto concluye con una breve comparación entre la regla trapezoidal, la integración Romberg y el uso de cambios de variable.

This text explores the trapezoidal rule in numerical integration, with a focus on its exponential convergence in some cases and its usage via changes of variable. It first introduces the trapezoidal rule as a Newton-Cotes formula for estimating integrals over closed intervals [a, b]. Then it introduces the Bernouilli polynomials to arrive to the Euler-Maclaurin formula, an important result for analyzing the error of the trapezoidal rule. Romberg integration is introduced as well. Afterwards, the error of the trapezoidal rule is examined for periodic functions and integrals over the real line. The text ends up demonstrating the great accuracy of the trapezoidal rule in these two cases. Changes of variable are introduced to adapt any integral to a more convenient case for the trapezoidal rule. Finally, a brief comparison of the trapezoidal rule against Romberg and the trapezoidal rule with appropriate changes of variables is discussed, demonstrating the enhanced accuracy of the trapezoidal rule when applied to periodic and analytic functions.