Fibrados sobre espacios topológicos

Abstract

En este trabajo se han estudiado los fibrados sobre espacios topológicos. Un fibrado es una terna (E,B, p) donde E y B son espacios topológicos y p es una aplicación continua y sobreyectiva de E en B denominada aplicación de fibrado. En este trabajo se estudiarán los fibrados triviales y localmente triviales, y se describirán ejemplos de aplicaciones entre espacios topológicos conocidos vistos desde el punto de vista de los fibrados. Además, se construirán nuevos ejemplos como el fibrado inducido sobre el producto fibrado o el fibrado del espacio de caminos en un espacio topológico. Posteriormente, se introduce la propiedad del levantamiento de homotopías y cómo se comporta dicha propiedad respecto a los fibrados triviales y localmente triviales. A continuación estudiarán los fibrados de Hurewicz, que son fibrados que admiten levantamientos de homotopías definidas desde cualquier espacio. Se probará que algunos de los fibrados construidos son fibrados de Hurewicz. Uno de los resultados principales del trabajo dice que toda aplicación continua es, salvo equivalencia homotópica, una aplicación de fibrado de Hurewicz. Finalmente, para fibrados localmente triviales (E,B, F, p), donde F es la fibra, se establecerán relaciones entre los grupos de homotopía relativos del par (E, F) y los grupos de homotopía del espacio B.

The present work is a study of fibrations over topological spaces. A fibration is a triple (E,B, p) where E and B are topological spaces and p is a surjective continuous map from E to B called fibration map or, simply fibration. Trivial and locally trivial fibrations will be studied and examples of well known topological spaces will be described from the point of view of fibrations. Moreover, new examples of fibrations will be constructed, such as the induced fibration over the fibered product or the fibration over the path space of a topological space. We will also introduce the homotopy lifting property and we study how this property behaves for trivial and locally trivial fibrations. Hurewicz fibrations, those who have the homotopy lifting property for any topological space, will be studied next. It will be proved that some of the examples of fibrations mentioned before are indeed Hurewicz fibrations. One of the main results of this work states that any continous map is a Hurewicz fibration up to homotopy equivalence. Finally, for any given locally trivial fibration (E,B, F, p) with fiber F, relationships between the relative homotopy groups of the pair (E, F) and the homotopy groups of B will be established.