On a Camassa-Holm type equation describing the dynamics of viscous fluid conduits

Abstract

Several fluid systems are characterised by time reversal and parity breaking. Examples of such phenomena arise both in quantum and classical hydrodynamics. In these situations, the viscosity tensor, often dubbed “odd viscosity”, becomes non-dissipative. At the mathematical level, this fact translates into a loss of derivatives at the level of a priori estimates: while the odd viscosity term depends on derivatives of the velocity field, no parabolic smoothing effect can be expected. In the present paper,we establish awell-posedness theory in Sobolev spaces for a systemof incompressible non-homogeneous fluids with odd viscosity. The crucial point of the analysis is the introduction of a set of good unknowns, which allow for the emerging of a hidden hyperbolic structure underlying the system of equations. It is exactly this hyperbolic structure which makes it possible to circumvent the derivative loss and propagate high enough Sobolev norms of the solution. The well-posedness result is local in time; two continuation criteria are also established.

Plusieurs systèmes fluides sont caractérisés par une rupture de symétrie et de réversibilité temporelle. Des exemples de telles phénomènes apparaissent à la fois dans l'hydrodinamique quantique et classique. Dans ces situations, le tenseur de viscosité, souvent appelée "viscosité impaire", devient anti-dissipatif. Au niveau mathématique, ce fait se traduit dans une perte de dérivées au niveau des estimations a priori : le terme de viscosité impaire dépend des dérivées du champs de vitesses, pour lequel aucun effet régularisant de type parabolique peut être attendu. Dans ce papier, nous établissons une théorie de caractère bien posé dans les espaces de Sobolev pour un système de fluides incompressibles inhomogènes avec une viscosité impaire. L’étape cruciale de l’analyse consiste dans l’introduction d’un système de bonnes inconnues, qui permettent de mettre en évidence une structure hyperbolique sous-jacente aux équations. Précisément cette structure hyperbolique représente la clé pour éviter la perte de dérivées et propager la régularité Sobolev de la solution. Le résultat de caractère bien posé est local en temps; deux critères de continuation sont aussi établis.