Reducción de singularidades y existencia de separatrices para foliaciones en (C², 0)

Abstract

El objetivo principal de este trabajo es probar el resultado de existencia de una la reducción de singularidades de foliaciones en (C², 0), que se obtiene como composición de un número finito de explosiones de puntos. Para ello, estudiaremos antes la reducción de singularidades de curvas en (C², 0), prestando especial atención a las cúspides definidas por por yp - xq = 0. Posteriormente, pasaremos a estudiar el comportamiento de una foliación con una singularidad en (C² 0) tras una explosión con centro el origen, presentaremos el concepto de singularidad simple, y probaremos el resultado de existencia de una reducción de singularidades de una foliación en (C², 0). Para finalizar el trabajo, se dará una prueba del teorema de existencia de separatriz para una foliación en (C², 0), cuya demostración se apoya en el resultado de reducción de singularidades de foliaciones y en las propiedades del índice de Camacho-Sad. Además, como ejemplo, se describirá la reducción de singularidades de un tipo particular de foliaciones cuspidales.

The main goal of this work is to prove the result of the existence of the reduction of singularities of foliations in (C², 0), which is obtained as a composition of a finite number of point blow-ups. To this end, we will first study the reduction of singularities of curves in (C², 0), paying special attention to cusps defined by yp − xq = 0. Afterwards, we will study the behavior of a foliation with a singularity in (C², 0) after a blow-up centered at the origin, introduce the concept of simple singularity, and prove the result of the existence of a reduction of singularities of a foliation in (C², 0). To conclude, we will present a proof of the separatrix existence theorem for a foliation in (C², 0), whose demonstration relies on the result of the reduction of singularities of ad index. Additionally, as an example, we will describe the reduction of singularities of a particular type of cuspidal foliations.