Cíclidos de Dupin: propiedades y su aplicación a la mezcla de superficies

Abstract

En este trabajo se presenta una estructura organizada en varios capítulos. En el primer capítulo se repasan conceptos básicos necesarios para el desarrollo posterior. En el segundo capítulo, se realiza un análisis detallado de los cíclidos de Dupin, abordando sus definiciones, tipos y propiedades fundamentales, así como su construcción mediante inversión aplicada a ejemplos específicos como cilindros circulares y toros. En el tercer capítulo comienza el estudio de las mezclas entre cuádricas naturales. Se propone una definición de mezcla con cíclidos que implica la construcción de mezclas no singulares, excluyendo uniones con cíclidos y superficies singulares. Además, se analizan las implicaciones de esta definición sobre la posición de las cuádricas en la mezcla y sobre las propiedades de las circunferencias extremas de estas mezclas. En el cuarto capítulo, se analizan los casos de mezclas entre cuádricas naturales, utilizando principalmente cíclidos de tipo elíptico-hiperbólico anulares. También se examina la relación entre la existencia de mezclas con cíclidos y la condición de esfera inscrita común. Al final de este capítulo, se proporcionan dos ejemplos implementados que ilustran dos tipos de mezcla con cíclidos, uno entre dos esferas y otro entre un cono y un plano. Por último, tenemos una breve conclusión y reflexión sobre el trabajo futuro.

This work is organized into several chapters. In the first chapter, basic concepts necessary for subsequent development are reviewed. In the second chapter, a detailed analysis of Dupin cyclides is provided, addressing their definitions, types, and fundamental properties, as well as their construction through inversion applied to specific examples such as circular cylinders and tori. In the third chapter, the study of blends between natural quadrics begins. A definition of blend with cyclides is proposed, which involves the construction of non-singular blends, excluding joins with cyclides and singular surfaces. Additionally, the implications of this definition on the position of the quadrics in the blend and on the properties of the extreme circles of these blends are analyzed. In the fourth chapter, cases of blends between natural quadrics are analyzed, mainly using ring elliptic-hyperbolic cyclides. The relationship between the existence of blends with cyclides and the common inscribed sphere condition is also examined. At the end of this chapter, two implemented examples are provided to illustrate two types of blends with cyclides: one between two spheres and another between a cone and a plane. Finally, a brief conclusion and reflection on future work is presented.