Nullstellensatz Real, Positivstellensatz, Nichnegativstellensatz: problema XVII de Hilbert

Abstract

En este manuscrito se presenta el Problema XVII de Hilbert, junto con su resolución en 1927 dada por E. Artin y con otras variantes del problema. Esto requiere el desarrollo previo de la Teoría Artin-Schreier, a fin de poder reproducir una prueba del problema en detalle. En el primer capítulo se verá una herramienta que será útil en toda la memoria, el Teorema del Homomorfismo de Artin-Lang, y también se probará el Nullstellensatz Real, es decir, la versión del Nullstellensatz de Kronecker-Hilbert para cuerpos realmente cerrados. En el segundo capítulo se desarrolla la Teoría de Artin-Schreier para cuerpos ordenados y cuerpos realmente cerrados, y también se añade una prueba del Positivstellensatz y del Nichnegativstellensatz. Finalmente, se introduce el Problema XVII de Hilbert y algunas de sus variantes más conocidas. Cada una de ellas exige el desarrollo de una teoría previa, así como la respuesta original de Artin se basó en la Teoría de Artin-Schreier. Por motivos de espacio, no daremos las pruebas detalladas de algunas de estas variantes, pero sí que trataremos de resumir estos aspectos teóricos esenciales en la memoria.

In this work, the Hilbert’s Seventeenth Problem is presented, along with a proof for the original version solved by E. Artin in 1927 and other different variants of the problem. The given proof is solidly based on the Artin-Schreier Theory, and thus it shall be presented beforehand. The first chapter of this memory is an introduction to some topics about closed real fields, including the Arting-Lang Homomorphism Theorem and a Real Nullstellensatz, that is, a version of the Kronecker-Hilbert’s Nullstellensatz for closed real fields. In the second chapter, the Artin-Schreier Theory is developed, and also proof for the Positivstellensatz and Negativstellensatz is given. The last chapter consists of a presentation on the most recognizable versions of the Hilbert’s Seventeenth Problem. Proof for the original version solved by Artin is given in great detail since the Artin-Schreier Theory has been worked out in the previous chapters. For some other variants and due to the space restrictions, we only summarize the main results with no proof at all.