Equilibrio de Nash y conjuntos semialgebraicos

Abstract

En la teoría de juegos, uno de los conceptos fundamentales es el equilibrio de Nash, que describe una situación en la que ningún jugador puede mejorar su resultado cambiando solo su propia estrategia, dado que las estrategias de los demás jugadores están fijas. Este concepto es fundamental, sobre todo en el área de la economía, ya que permite modelar y entender comportamientos estratégicos. Este trabajo se centra, por una parte, en la existencia de equilibrios de Nash, y por otra, en la caracterización de estos. Utilizando teoremas de punto fijo damos condiciones suficientes para asegurar su existencia tanto en juegos de estrategia pura como en juegos de estrategia mixta. Además, exploramos la complejidad de estos equilibrios mediante conjuntos semialgebraicos, demostrando que cualquier conjunto semialgebraico compacto se puede expresar como la proyección del conjunto de equilibrios de Nash de un juego.

In game theory, one of the fundamental concepts is Nash equilibrium, which describes a situation where no player can improve his outcome by changing only his own strategy, given that the strategies of the other players are fixed. This concept is fundamental, especially in the area of economics, since it allows for modeling and understanding strategic behaviors. This work is focused on the existence of Nash equilibria and their characterization. By using fixed point theorems, we give sufficient conditions to ensure their existence in both pure strategy games and mixed strategy games. Moreover, we explore the complexity of these equilibria by means of semialgebraic sets, showing that any compact semialgebraic set can be expressed as the projection of the set of Nash equilibria of a game.