Una mirada matemática al cubo de Rubik

Abstract

En este trabajo se estudia el cubo de Rubik con una perspectiva matemática. Para ello se introduce la notación de Singmaster que permite describir cualquier cubo independiente a los colores del mismo, describir el movimiento de los cubiletes al rotar las caras del cubo y con ello establecer la estructura de grupo del conjunto de todas los operaciones sobre el cubo de Rubik. Así hemos llegado al primer teorema fundamental del cubo de Rubik, que da condiciones necesarias y suficientes para que una colocación aleatoria de los cubiletes de una configuración se pueda resolver sin necesidad de desmontar el cubo. Este resultado nos permitirá, entre otras, determinar el cardinal del grupo del cubo de Rubik, el número de configuraciones y llegar al segundo teorema fundamental, que da condiciones necesarias y suficientes para que exista una secuencia de giros de las caras del cubo que transforme una configuración inicial dada en otra final. Terminaremos con la primera cota para el Numero de Dios, que es el máximo número de giros necesarios para resolver cualquier cubo.

In this work we analyse the Rubik cube from a mathematical point of view. For this we have introduced Singmaster’s notation, which allows to describe any Rubik cube regardless of the choice of colors. This also allows to describe the movement of the cubicles when we rotate any of the faces of the cube, and stablish a group structure of the set of all moves on the Rubik cube. Thereafter, we introduce the first fundamental theorem of the Rubik cube, which gives necesary and suficient conditions to claim whether a cube, whose cubicles have been randomly assambled, can be solved rotating its faces. Then, we are able to introduce further results, as the cardinality of the Rubik’s cube group and the second fundamental theorem, which gives necessary and suficient conditions for a given move to exist. Finally, we go over the God’s Number, that gives the minimum number of moves that allows to solve any cube.