Cuerpo p-ádicos

Abstract

Habitualmente, se trabaja con el cuerpo de los números racionales (que no es completo respecto al valor absoluto usual) y con su compleción con respecto a dicho valor absoluto: el cuerpo de los números reales. Los cuerpos p-ádicos se obtienen al completar el cuerpo de los números racionales con respecto a un nuevo valor absoluto: el valor absoluto p-ádico. En esta memoria se estudia el proceso de compleción, la existencia y unicidad de la extensión de valores absolutos y se analiza cómo se comportan estos en la clausura algebraica de un cuerpo. Entre los objetivos de este trabajo, se incluye además la construcción del cuerpo complejo p-ádico y el estudio de sus propiedades. En particular, se analiza la separabilidad y el comportamiento frente a la intersección de bolas encajadas.

Usually, we work with the field of rational numbers (which is not complete with respect to the usual absolute value) and with its completion with respect to that absolute value: the field of real numbers. The p-adic fields are obtained by completing the field of rational numbers with respect to a new absolute value: the p-adic absolute value. This memory studies the process of completion, the existence and uniqueness of the extension of absolute values, and analyzes how these behave in the algebraic closure of a field. Among the aims of this work, we include the construction of the complex p-adic field and study its properties. In particular, the separability and behavior concerning the intersection of nested balls are analyzed.