Productos infinitos: principios y ejemplos

Abstract

Este trabajo de Fin de Grado explora los productos infinitos, sus definiciones rigurosas y su utilidad en el análisis matemático, tanto en números reales como complejos. Además, se presentará la estrecha relación entre los productos infinitos y las series numéricas. El trabajo incluye numerosos ejemplos, entre los cuales destacan el producto de Wallis y el producto de Viète, mostrando la conexión entre el número π y los productos infinitos. También se presenta un ejemplo físico que utiliza productos infinitos para calcular el centro de masas de arcos de circunferencia. Asimismo, se aborda la aplicación de los productos infinitos en la factorización de funciones y en el análisis complejo, gracias al teorema de Weierstrass, que permite representar cualquier función holomorfa como un productos infinito, identificando sus ceros. Este trabajo tiene como objetivo proporcionar una visión comprensiva y didáctica sobre los productos infinitos.

This thesis explores the infinite products, their rigorous definitions and their usefulness in mathematical analysis, both in real and complex numbers. In addition, the close relationship between infinite products and numerical series will be presented. The paper includes numerous examples, among which the Wallis product and the Viète product stand out, showing the connection between the number π and infinite products. A physical example using infinite products to calculate the center of masses of circumference arcs is also presented.The application of infinite products in the factorization of functions and in complex analysis is also addressed, thanks to the Weierstrass theorem, which allows to represent any holomorphic function as an infinite product, identifying its zeros. This work aims to provide a comprehensive and didactic view on infinite products.