Theoretical and experimental study of the optical phase statistics in semiconductor lasers

Abstract

This work is aimed to study a few different stochastic processes, and their most relevant statistical properties. First, the Langevin equations of one-dimensional (1D) and two-dimensional (2D) Brownian motion were solved, using numerical integration. Different integration times Δt were used, to study the convergence of the statistical moments when reducing it. In the 1D case, the variance of the N = 10000 trajectories was shown to converge to a linear function of time when reducing Δt. Moreover, the probability density of the trajectories was determined to be really close to a Gaussian, after times large enough. In the 2D case, the phase of the process, ɸ, was studied. For that, no convergence of the variance was found when Δt was reduced. This is because the probability density of ɸ approaches a Cauchy distribution for times big enough, which was also proved with the data. The Cauchy distribution has infinite variance. Last, the experimental results of the optical phase of a semiconductor laser were analysed. This can be described by two different sets of mathematical equations. When the bias intensity of the laser is lower than the threshold I < Ith, one of them can be approximated by 1D Brownian motion, and the other by 2D Brownian motion. It was shown that the variance of the optical phase converged to a linear function of time, and the probability density of the phase noise approached a Gaussian, which gives experimental backup to the first set of equations over the second set.

El objetivo principal de este trabajo es estudiar algunos procesos estocásticos, y determinar sus propiedades estadísticas. Primero, se resolvieron las ecuaciones de Langevin del movimiento browniano unidimensional y bidimensional, mediante integración numérica. Se utilizaron diferentes tiempos de integración Δt para estudiar la convergencia de los momentos estadísticos, con la reducción de dicho tiempo. En una dimensión, se demostró que la varianza de las N = 10000 trayectorias converge a una función lineal del tiempo al reducir Δt. Además, se determinó que la densidad de probabilidad de las trayectorias se aproxima a una gaussiana tras tiempos suficientemente largos. En el caso bidimensional, se estudió la fase del proceso, ɸ . Para dicha fase, no se encontró convergencia de la varianza al reducir Δt. Esto se debe a que la densidad de probabilidad de ɸ se aproxima a una distribución de Cauchy, para tiempos suficientemente largos, lo cual también se demostró en los resultados. La distribución de Cauchy tiene una varianza infinita. Por último, se analizaron los resultados experimentales de la fase óptica de un láser de semiconductor. Esta fase se puede describir mediante dos conjuntos diferentes de ecuaciones matemáticas. Para intensidades de corriente del láser inferiores al umbral I < Ith, uno de ellos puede aproximarse al movimiento browniano 1D, y el otro al movimiento browniano 2D. Se demostró que la varianza de la fase óptica convergía a una función lineal del tiempo, y que la densidad de probabilidad del ruido en fase se aproximaba a una gaussiana. Esto respalda experimentalmente el primer conjunto de ecuaciones sobre las segundas.