Matrices de Hadamard

Abstract

A lo largo de este trabajo se definirán las matrices de Hadamard y se hablará sobre algunas de sus características y de sus posibles órdenes. Se verán las diferentes maneras de construirlas, añadiendo ejemplos y haciendo uso de programas creados en Matlab, donde nos apoyaremos para la construcción de estas. Se desarrollarán tres métodos: Construcción de Sylvester, Construcción de Paley y Producto de Kronecker. Con ellos, se abarcarán muchas de las matrices de Hadamard de orden múltiplo de 4 inferior a 1000 que cumplan las características necesarias para serlo. También se hablará sobre el valor del determinante, definiendo la Desigualdad de Hadamard, para ver que el valor del determinante de estas matrices es maximal. La última sección de este trabajo será dedicada a una de sus principales aplicaciones, la teoría de códigos, donde se verá la importancia de conocer estas matrices. Definiendo conceptos clave e introduciéndola para una posterior comparación de ejemplos donde determinaremos la importancia de las matrices a escoger.

Throughout this work, Hadamard matrices will be defined, and some of their characteristics and possible orders will be discussed. Different ways to construct them will be examined, including examples and the use of programs created in Matlab, which will support their construction. Three methods will be developed: Sylvester’s Construction, Paley’s Construction, and the Kronecker Product. These methods will cover many Hadamard matrices of order multiple of 4 less than 1000 that meet the necessary characteristics. The value of the determinant will also be discussed, defining Hadamard’s Inequality, to show that the determinant value of these matrices is maximal. The last section of this work will be dedicated to one of their main applications, coding theory, where the importance of constructing these matrices will be highlighted. Key concepts will be defined, and it will be introduced for a subsequent comparison of examples where the importance of the matrices to be chosen will be determining.