La desigualdad sistólica

Abstract

La geometría sistólica aparece por primera vez a mediados del siglo XX cuando se publica la desigualdad sistólica para el plano proyectivo. Se trata de un tipo de desigualdades que se plantean en el contexto de variedades Riemannianas compactas no simplemente conexas. Se considera el lazo no nulhomótopo de menor longitud y se emplea para acotar inferiormente el volumen de la variedad. Son muy pocos los casos en los que se conoce el valor óptimo de la constante en la desigualdad. En este trabajo demostramos la desigualdad sistólica para el toro y para el plano proyectivo, para las cuales se conoce el valor óptimo así como la métrica con la que se alcanza.

Systolic geometry first appeared during the 50’s when the systolic inequality for the projective plane was published. These kind of inequalities are to be thought in the setting of a non-simply connected compact Riemannian manifold. The shortest loop which does not contract to a point is used to bound from below the volume of the manifold. Only a few optimal values for the inequality constants are known. In this work, we prove the systolic inequality for the torus and the projective plane, for which the optimal value and the attached metric are known.