Teoría de Sturm: teoremas de separación y comparación

Abstract

Este trabajo se centra en el estudio cualitativo de ciertas ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden. En particular, aborda propiedades relacionadas con los ceros de las soluciones de dichas ecuaciones. Tales resultados son de gran importancia ya que en muchas ocasiones no se puede obtener una función explícita que verifique la ecuación diferencial. Las propiedades a estudiar pueden ser de diversos tipos como el entrelazamiento de los ceros de unas soluciones con otras, si poseen una cantidad infinita de ellos o no, o la distancia que existe entre ellos. Como caso particular se analizará el problema de Sturm-Liouville con distintas condiciones, recogiendo sus principales rasgos. A lo largo de toda la memoria se ilustrarán los distintos resultados con ejemplos clásicos y originales.

This work focuses on the qualitative study of certain second-order ordinary differential equations. In particular, it addresses properties related to the zeros of the solutions of these equations. Such results are of great importance since in many cases, an explicit function that satisfies the differential equation cannot be obtained. The properties to be studied can be of various types, such as the interlacing of the zeros of some solutions with others, whether they have an infinite number of zeros or not, or the distance between them. As a particular case, the Sturm-Liouville problem will be analyzed with different conditions, highlighting its main features. Throughout the entire document, the various results will be illustrated with both classical and original examples.