Introducción a las geometrías finitas

Abstract

El objetivo de este trabajo es realizar una introducción a las geometrías afín y proyectiva finitas. En especial, vamos a estudiar los espacios de dimensión dos, que pueden definirse de dos formas diferentes, o bien a partir de un espacio vectorial sobre un cuerpo, o axiomáticamente. Los definidos a partir de un espacio vectorial tienen orden potencia de un primo y verifican los teoremas de Desargues y de Pappus. De los definidos axiomáticamente se muestra la clasificación hasta orden catorce, haciendo especial hincapié en los cuatro planos de orden nueve. El caso de orden doce permanece abierto y de los órdenes once y trece no se sabe si hay unicidad.

The aim of this paper is to introduce finite affine and projective geometries. We will focus on two dimensional spaces, which can be defined in two different ways, they can either be constructed over vector spaces or axiomatically. The ones constructed over vector spaces have a prime power order and verify the Desargues’ theorem and Pappus’ theorem. Of those defined axiomatically, the classification is shown up to order fourteen, with special emphasis on the four planes of order nine. The existence of the twelve order plane is still an open problem. The uniqueness of the planes of order eleven and thirteen is yet to be proven.