Homotopy analysis method

Abstract

A lo largo de este trabajo, se estudia el método de análisis homotópico (HAM por sus iniciales en inglés) propuesto por Shijun Liao en 1992. Nos centramos principalmente en la versión denominada Normal HAM, en la que se introduce un parámetro auxiliar de control de convergencia. En las páginas posteriores veremos la relevancia del parámetro auxiliar, además de introducir las series de Taylor generalizadas. Posteriormente, se relaciona el HAM con el método de Newton y el de Olver para la aproximación de raíces de ecuaciones algebraicas. También se aplica dicho método a ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO) no lineales y se profundiza en los elementos que forman el HAM. Finalmente, se da un teorema de convergencia del método y se aplica a una ecuación en derivadas parciales (EDP) simple.

In this paper, we study the homotopy analysis method (HAM) proposed by Shijun Liao in 1992. We mainly focus on the version called Normal HAM, in which an auxiliary convergence control parameter is introduced. In the following pages we will see the relevance of the auxiliary parameter, as well as introduce the generalized Taylor series. Subsequently, we relate the HAM to Newton’s method and Olver’s method for the approximation of roots of algebraic equations. This method is also applied to nonlinear ordinary differential equations (ODE) and we go deeper into the elements that form the HAM. Finally, a convergence theorem of the method is given and it is applied to a simple partial differential equation (PDE).