El teorema de Minkowski sobre la equivalencia de formas cuadráticas racionales

Abstract

El Teorema de Minkowski establece que una forma cuadrática sobre Q representa a 0 si y solo si la forma cuadrática representa a 0 sobre R y Qp para todo p primo, es decir, afirma que el Principio Local-global se cumple para la representación de 0 en las formas cuadráticas racionales. El objetivo de este trabajo es proporcionar una demostración del mismo. Para ello, introducimos el cuerpo de los p-ádicos así como las propiedades más relevantes que poseen como el Lema de Hensel y también proporcionamos una serie de resultados de las formas cuadráticas sobre Qp, que incluye el estudio del símbolo de Hilbert y sus propiedades para poder definir el invariante de Hasse, invariante de las formas cuadráticas sobre los p-ádicos. Como consecuencia de este teorema, se establecen las condiciones necesarias y suficientes para que dos formas cuadráticas sobre Q sean equivalentes.

Minkowski’s Theorem states that a quadratic form over Q represents 0 if and only if the quadratic form represents 0 over R and Qp for every prime p, i.e., it states that the Local-global Principle holds for the representation of 0 in rational quadratic forms. The goal of this work is to provide a proof of it. For this porpose, we present the field of the p-adic as well as the most relevant properties they have, like the Hensel’s Lemma, and we also provide a series of results of the quadratic forms over Qp, which includes the study of the Hilbert symbol and its properties for to be able to work with the Hasse invariant, invariant of the quadratic forms on the p-adic. As a consequence of this theorem, the necessary and sufficient conditions are established for two quadratic forms on Q to be equivalent.