Conjetura de Collatz

Abstract

La conjetura de Collatz es considerada como uno de los problemas matemáticos más fáciles de enunciar, pero más difíciles de demostrar. La conjetura afirma que para cualquier número natural n, si se aplica repetidamente la siguiente regla: dividir entre 2 si n es par, o multiplicar por 3 y sumar 1 si n es impar, se llegará eventualmente al ciclo 1, 4, 2, 1, 4, 2... y así sucesivamente. Lothar Collatz planteó esta conjetura en 1937, y desde entonces varios matemáticos han tratado de probarla o refutarla (de forma general o encontrando un contraejemplo). No obstante si se han demostrado ciertos resultados referentes a ella. Este trabajo pretende profundizar la conjetura de Collatz desde distintos enfoques matemáticos. En primer lugar se realizará una introducción histórica de la conjetura desde sus inicios hasta sus últimos avances en la actualidad. A continuación, se enuncia la conjetura y propiedades esenciales, así como diversas propiedades o resultados concernientes a lo que se denomina tiempo de parada. Se estudiará el comportamiento de las iteraciones tanto desde un punto estadístico o probabilista como desde un punto de vista algebraico.

The Collatz conjecture is considered one of the easiest mathematical problems to state, but most difficult to prove. The conjecture states that for any natural number n, if you repeatedly apply the following rule: divide by 2 if n is even, or multiply by 3 and add 1 if n is odd, you will eventually reach cycle 1, 4, 2, 1, 4, 2... and so on. Lothar Collatz proposed this conjecture in 1937, and since then several mathematicians have tried to prove or disprove it (generally or by finding a counterexample). However, certain results regarding it have been demonstrated. This work aims to deepen Collatz’s conjecture from different mathematical approaches. Firstly, a historical introduction of the conjecture will be made from its beginnings to its latest advances today. The conjecture and essential properties are stated below, as well as various properties or results concerning what is called stop time. The behavior of the iterations will be studied both from a statistical or probabilistic point of view and from an algebraic point of view.