Convergencia en espacios topológicos: redes y filtros

Abstract

La convergencia de sucesiones permite caracterizar propiedades topológicas como la continuidad de aplicaciones o la compacidad, para aquellos espacios que verifican el primer axioma de numerabilidad, como es el caso de los espacios métricos. En este trabajo se estudiarán varios ejemplos que muestran que las caracterizaciones por sucesiones no son adecuadas para cualquier espacio topológico. Por ello, se introducen las nociones de red y filtro que generalizan la noción de convergencia, acompañadas de distintos ejemplos. Una vez explicadas las teorías de redes y filtros, mostraremos su uso para caracterizar propiedades de espacios topológicos generales, determinando la equivalencia entre ambas teorías. Por último, se introducirán los espacios de convergencia, que son estructuras más generales que los espacios topológicos, donde la noción de convergencia se define a partir de la noción de filtro. Mostraremos su relación con los espacios topológicos y daremos ejemplos de convergencia no topológica.

The convergence of sequences characterizes topological properties such as the continuity of maps or compactness, for first-countable topological spaces, like metric spaces. In this work we will study some examples that show that characterizations by sequences are not suitable for any topological space. Therefore, the notions of net and filter are introduced, which generalize the notion of convergence, with a variety of examples. Once the theories of nets and filters are explained, we will show their use in characterizing properties of general topological spaces, establishing the equivalence between both theories. Finally, convergence spaces will be introduced, which are more general than topological spaces, where the notion of convergence is defined by the concept of filter. We will show their relation with topological spaces and we will give some examples of non-topological convergence.