La distancia de Wasserstein y su aplicación a las ecuaciones en derivadas parciales

Abstract

This project explores the application of the Wasserstein space to study convergence to equilibrium in the heat equation and the linear Fokker-Planck equation. The Wasserstein space provides a metric for measuring distances between probability distributions. Specifically, we focus on the 2-Wasserstein space, where we investigate the construction of geodesics. By computing the Wasserstein gradient flow of a functional, we establish its connection to the linear Fokker-Planck equation. Through the study of functional convexity, we demonstrate the convergence to equilibrium as time goes to infinity of the solution to this PDE. Furthermore, by transforming coordinates, we relate the heat equation to the linear Fokker-Planck equation and so we can prove its convergence to equilibrium.

Este trabajo explora la aplicación del espacio de Wasserstein para estudiar la convergencia al equilibrio en la ecuación del calor y la ecuación lineal de Fokker-Planck. El espacio de Wasserstein proporciona una métrica para medir distancias entre distribuciones de probabilidad. Particularmente, nos enfocamos en el espacio 2-Wasserstein, donde investigamos la construcción de geodésicas. Al calcular el flujo de gradiente de Wasserstein de un funcional, establecemos su conexión con la ecuación lineal de Fokker-Planck. A través del estudio de la convexidad funcional, demostramos la convergencia al equilibrio de la solución de esta EDP cuando el tiempo tiende al infinito. Además, al transformar coordenadas, relacionamos la ecuación del calor con la ecuación lineal de Fokker-Planck, y así podemos demostramos su convergencia al equilibrio.