Métodos matemáticos de optimización. Método Simplex

Abstract

El objetivo de este trabajo es analizar y comprender el Método Simplex. Para ello se parte de la Investigación Operativa para posteriormente pasar a la Programación Lineal. Lo primero que haremos será ponernos en contexto. Para ello comenzamos con una breve introducción sobre la Investigación Operativa y su historia. Seguidamente, hablaremos de las fases de aplicación de la investigación de operaciones, desde la definición del problema hasta la implantación y establecimiento de controles sobre la solución. Dentro de estas fases está la resolución a través de un modelo, tema principal de este trabajo. Se pueden aplicar diferentes métodos para alcanzar la solución óptima a un problema, veremos cuáles son sus limitaciones y alcances. A continuación, desarrollaremos el método Simplex de forma teórica. La estandarización nos permite posteriormente hacer la tabla sobre la cual se trabaja para obtener los resultados. Cada tabla arroja una solución que mejora la anterior, hasta que se llegue al punto óptimo. Tras haber visto la teoría de la Investigación de Operaciones y del método Simplex, pasamos a desarrollar varios ejemplos para ver la importancia de su aplicación. Primero, comentaremos brevemente unos casos reales donde se utiliza la Investigación de Operaciones para comprender la gran relevancia que tiene esta herramienta, sobre todo en el ámbito empresarial. Asimismo, seguiremos con ejemplos prácticos que nos permitirán entender mejor los diferentes métodos para obtener soluciones óptimas a los problemas planteados. Comenzaremos con el método gráfico, el más sencillo, al poderse utilizar cuando hay dos variables. Para superar esta limitación veremos el método Simplex, que permite trabajar con más de dos variables. Primero, lo veremos solo con restricciones del tipo menor o igual y, posteriormente, con restricciones del tipo mayor o igual, donde se incorporan las variables artificiales. Aunque el Simplex supera muchos obstáculos, presenta la limitación del tiempo, que demora resolver problemas con muchas variables y restricciones, por lo que, por último, veremos la herramienta Solver de Excel, que nos permite en pocos minutos obtener el resultado óptimo de la situación dada. Para finalizar, veremos unos casos especiales: sin solución o con infinitas soluciones.

The objective of this work is to analyze and understand the Simplex Method. For this, we start from Operations Research and then move on to Linear Programming. First, we will set the context. For that, we begin with a brief introduction about Operations Research and its history. Next, we will discuss the phases of operations research application, from problem definition to the implementation and establishment of controls over the solution. Within these phases is the resolution through a model, the main theme of this work. Different methods can be applied to achieve the optimal solution to a problem, and we will explore their limitations and scopes. Following this, we will develop the Simplex Method theoretically. The standardization later allows us to create the table on which we work to obtain the results. Each table yields a solution that improves the previous one, until the optimal point is reached. Having seen the theory of Operations Research and the Simplex Method, we move on to develop several examples to see the importance of its application. First, we will briefly discuss some real cases where Operations Research is utilized to understand the great relevance this tool has, especially in the business realm. Likewise, we will continue with practical examples that will allow us to better understand the different methods to obtain optimal solutions to the posed problems. We will start with the graphical method, the simplest, as it can be used when there are two variables. To overcome this limitation, we will look into the Simplex Method, which allows working with more than two variables. First, we will see it only with constraints of the less than or equal to type, and later, with constraints of the greater than or equal to type, where artificial variables are incorporated. Although the Simplex overcomes many obstacles, it presents the limitation of time, as it takes a while to solve problems with many variables and constraints, hence, finally, we will look into the Solver tool of Excel, which allows us to obtain the optimal result of the given situation in just a few minutes. To conclude, we will look at some special cases: without solution or with infinite solutions.