Permutation polynomials and applications

Abstract

El objetivo de este Trabajo Fin de Máster es el estudio de los polinomios permutacionales y localmente permutacionales en varias variables definidos sobre cuerpos finitos. En la primera parte de esta memoria se introduce el concepto de polinomios permutacionales en una variable, así como una serie de resultados básicos. El segundo capítulo extiende este concepto a varias variables además de presentar los polinomios localmente permutacionales, proporcionando propiedades, caracterizaciones y construcciones. El tercer capítulo se centra en polinomios localmente permutacionales en dos variables, exhibiendo una familia de estos denominada e-Klenian polynomials, y estudiando la relación entre polinomios localmente permutacionales bivariados y cuadrados latinos. Además, se trata el tema de la ortogonalidad, hablando de Sistemas Ortogonales de Polinomios y de Cuadrados Latinos Mutuamente Ortogonales (MOLS, por sus siglas en inglés). Por último, se incluye en esta memoria un capítulo dedicado a dos de las aplicaciones más notables de los cuadrados latinos en los ámbitos de la Teoría de Códigos y Criptografía. Ciertos resultados y herramientas para la manipulación de estos polinomios han sido implementados en el sistema de computación simbólica SageMath.

The goal of this dissertation is the study of permutation and local permutation polynomials in several variables defined over finite fields. In the first part of this work the concept of permutation polynomials in one variable is introduced alongside a series of basic results. The second chapter extends this concept to several variables, providing properties, characterizations and constructions. The focus of the third chapter is local permutation polynomials in two variables, presenting a family of such polynomials denoted e-Klenian polynomials, and studying the relation between bivariate local permutation polynomials and Latin squares. Also, the topic of orthogonality is discussed, talking about Orthogonal Polynomial Systems and Mutually Orthogonal Latin Squares (MOLS). Finally, this report includes a chapter dedicated to two of the most notable applications of Latin squares in the areas of Coding Theory and Cryptography. Some results and tools to manipulate these polynomials have been implemented in the symbolic computation system SageMath.